Problem

No sistema motor mostrado na figura, l = 250 mm e b = 100 mm. A haste conectora BD é assum...

No sistema motor mostrado na figura, l = 250 mm e b = 100 mm. A haste conectora BD é assumida como uma haste delgada uniforme de 1,2 kg e está ligada ao pistão P de 1,8 kg. Durante um teste do sistema, a manivela AB é posta em rotação com uma velocidade angular constante de 600 rpm no sentido horário sem nenhuma força aplicada na face do pistão. Determine as forças exercidas na haste conectora em B e D quando θ = 180°. (Despreze o efeito do peso na haste.)

Figura 1

Step-by-Step Solution

Solution 1

Este problema trata do movimento plano de corpos rígidos, onde as forças aplicadas são equivalentes às forças efetivas. Resolveremos utilizando o que aprendemos neste capítulo do livro. Mãos à obra!

A figura abaixo representa a configuração do sistema:

Imagem 1

Dados:

Comprimento da barra BD: l = 0,25 m;

Comprimento da barra AB: b = 0,1 m;

Massa da barra BD: mBD = 1,2 kg;

Massa do Pistão: mP = 1,8 kg;

Velocidade angular: ω = 600 rpm (horário).

Sabemos que:

Quando :

Imagem 2

Determinaremos, agora, as velocidades!

Pela haste AB, temos:

\(\vec{V}_{B}=\vec{\omega}_{B A} \wedge \vec{r}_{A}\)

\(\vec{V}_{B}=-20 \cdot \pi \cdot \vec{k} \wedge 0,1 \cdot \vec{i}\)

\(\vec{V}_{B}=-6,283 \cdot \vec{j}[\mathrm{~m} / \mathrm{s}]\)

Mas, adotando \(\vec{\omega}_{B D}=-\omega_{B D} \cdot \vec{k}\) :

\(\vec{V}_{B / D}=\vec{\omega}_{B D} \wedge \vec{r}_{B}\)

\(\vec{V}_{B / D}=-\omega_{B D} \cdot \vec{k} \wedge 0,25 \cdot \vec{i}\)

\(\vec{V}_{B / D}=-0,25 \cdot \omega_{B D} \cdot \vec{j}[\mathrm{~m} / \mathrm{s}]\)

Portanto, sendo \(\vec{V}_{D}=V_{D} \cdot \vec{i}\), temos:

\(\vec{V}_{B}=\vec{V}_{D}+\vec{V}_{B I D}\)

\(-2 \cdot \pi \cdot \vec{j}=V_{D} \cdot \vec{i}-0,25 \cdot \omega_{B D} \cdot \vec{j}\)

Igualando em \(\vec{j}\), temos:

\(-2 \cdot \pi=-0,25 \cdot \omega_{B D}\)

\(\omega_{B D}=8 \cdot \pi=25,13[\mathrm{rad} / \mathrm{s}]\)

Determinaremos as acelerações!

Adotando \(\vec{\alpha}_{B D}=-\alpha_{B D} \cdot \vec{k}\) e \(\vec{\alpha}_{B A}=0(\omega=c t e)\) temos:

\(\vec{a}_{B D}=\vec{\alpha}_{B D} \wedge \vec{r}_{B}-\left(\omega_{B D}\right)^{2} \cdot \vec{r}_{B}\)

\(\vec{a}_{B D}=-\alpha_{B D} \cdot \vec{k} \wedge 0,25 \cdot \bar{i}-(8 \cdot \pi)^{2} \cdot 0,25 \cdot \bar{i}\)

\(\vec{a}_{B D}=-157,9 \cdot \vec{i}-0,25 \cdot \alpha_{B D} \cdot \vec{j}\)

Mas:

\(\vec{a}_{B}=\vec{\alpha}_{B A} \wedge \vec{r}_{A}-\left(\omega_{B A}\right)^{2} \cdot \vec{r}_{A}\)

\(\vec{a}_{B}=0-(20 \cdot \pi)^{2} \cdot 0,1 \cdot \vec{i}\)

\(\vec{a}_{B}=-394,8 \cdot \vec{i}\)

Portanto, sendo \(\vec{a}_{D}=a_{D} \cdot \vec{i}\), temos:

\(\vec{a}_{B}=\vec{a}_{D}+\vec{a}_{B / D}\)

\(-394,8 \cdot \vec{i}=a_{D} \cdot \vec{i}-157,9 \cdot \vec{i}-0,25 \cdot \alpha_{B D} \cdot \vec{j}\)

Igualando em \(\vec{i}\) e \(\vec{j}\), temos:

\(-394,8=a_{D}-157,9\)

\(a_{D}=-236,9 \cdot \vec{i}\)

\(-0,25 \cdot \alpha_{B D}=0 \Rightarrow \alpha_{B D}=0\)

Agora utilizaremos as equações do movimento.

Na haste AB, temos:

Imagem 3

Na haste BD, temos:

Imagem 4

Portanto, as forças que agem na haste são:

\(R_{B x}=426[N] \rightarrow \mathrm{e} R_{D x}=805[N] \leftarrow\)

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