Question

Section 1.3 3. a. Solve the following initial boundary value problem for the heat equation 0x<L t0 at u(r, 0) f() u(0, t)u(L, t) 0, t>0, 9Tr when f(r)6 sin L b. Solve the following initial boundary value problem for the diffusion equation au D 0 L t0 at u(r, 0) f() (0, t) (L, t) 0, t 0, x < L/2 0. when f(r) r > L/2. 1

Answer 1

3 a) u O 2 UV10) -ナle)= 6Sin (22) ulo, t) L) =0. l,E)Flu GlE) Let F"() GI+) aヒ FG FG D G SirCB -crtt F(0) = F(4)=0 . s ince tunction c C and Cnol F e' ort holepinountrof atd care Conrtart . G Let *ピニ F(x) ニaナ bx . Flo) =FCL) =0 =)aこbニ0、 Aニと2)0=) FCL)= a, e KxtQze- Plo) FCL)O =)4, =Q2 =O i)FニナAニード20=) FIニーK2F. A cos(Kと)+B3sintkx) FCz FCO)= OE) A0 F(L)0 二)8sinkL)=0 =)LK= nrin=l,2, 3, --. 人ニ nス

=) G e-Dn2t DG Bn Sin(nzx) e-ona Bn sin (nzx) enizi ) 2) N= =) =sin/) Bn sin sin/)sin) since n9 81 2D/L2 G sin b) D2 o xL/2 Ulx,o) x) L/2 du (4, ) = o . Ju(o Fo) F(L)=0. F" o ) F(x)= ax+b -) Flo)=F(L)=0 Fo x)a ) i) ^-2o =) Flx)= Acog (k x)13 sin (ky = -AK Sin l K*) + 1BKcos(ke) kn7/ in=l,2,3, . Sin (K1) o

Flw) Ancosn e-n An Cos ulx,t) Ao + 2- ( rcas/)dJe*)dn An cos Ul,o)fl)= Ao + n-l cln= An 2 니2 니2 An ose= 2 sin - L/2 니2 -- sin(nz)- sin 2 sin 2 sin A 2n = 2n (en-)) 2n-) A2n -) - 2 sin ( u 2 sin 2n-) (2 2n1)a - 2 Canx CO afnda) + 2 ) n= 2n-) 2