Question

Matrix A is factored in the form PDP^-1 where

$A = PDP^{^{-1}} = \begin{bmatrix} -2 & 0& -1\\ 0& 1 & 2\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 &0 &0 \\ 0 & -2 &0 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 &0 &1 \\ 2&1 &4 \\ -1&0 &-2 \end{bmatrix}$

1. what are the eigenvalues of A and what are the dimensions of the corresponding eigenspaces?

Answer 1

Given - F-2 0-rsoal rooj] A = PDD' To 1 2 || 0 -2 0 2 1 4 O II 0 0 Doo-2 1-2 0-17) 360) +0 (2) +0 (1) 3 (0)+0(1)+06) 3(1)+014)7062) 10 1 2 || 00 +fa)23+04-1) 0(0) +2013+06) (f) +62245+062) Tool 100+0Q)+f2) E1) 0(0)+0(1) +fa]O OCI+ 0(4) +62x271 -2 0- | 0+0+0 0+0+0 3+0+07 A = lo a-4+0 0-2 +0 0 -8+0 | 0+0+2 0+0+0 0+0+4 5-2 ot] ro o37 0 1 2 1 1-4 -2 -8 LOO 2 O 4 ) 162)0) +064)+(-16) (220) +0 (2) +6100 2X3) +0(-8) +(119 o +164) + 2 (3) +162)+20) 0 (3) +168)+ 2(4) 110 +064) +0) 10) +0f2) +00) 1 (3) +068) +0 (4) | Toto-2 0+0+0 -6 +0-4 | 0-4+4 0-2 +0 o toto 3+0+0 otota 0-878 A = 1 -2 0 -107 | 0 -2 0 .oo 3 1. Eigen values of A. The characteristic Equation is [A-]I) = 0 -2-1 0 -101 O -2-) 0 = 0 0 0 3-) )

(2-1) [62-1)(3-1)-001) - 0 [0/09-62-1903)-10 (910) f2-456)= → (2-1) 66+2x–31+12) -0 -10 (6-0) = 0 → 62-) (12-2) – 6 Joero 2-) = 0 , 12-1-6 = 0 1=2), (+a)(2-3) = 0 1+2 = 0 & 1-3 = 0 X=-2 & 1=3 Eigen values of A are -2,-2 & 3 :) if AF-2 find Eigen spaces (68) Eigens vector , 1-2 to 0 -101 To 0 -107 TAN, 0 -2+2 0 =100 Loo 3+2 la 0 5 R₂ : 2 R3 - Ri

бо Го о 21 o o o solue the metrin Axf]u=0 Гоо Гvg 2] [3-7 Ооо oo • J -J С. on t Izlo Ittils

Ľ210 -2-3 O ) tg = 3 farind Egon vector uz 0-4 ] = F2 -3 0 -107 1 0 0 3-3 = 75 a lot og all 19001217 door y saule the native equation [1-3] ve = ' rio guxo7 Vatavy=0 hel Vyzt, vae =-27

२. **09-03 eigin quae ac* (3 003)