Question

α) Find the co nole Laurent jenes abalt 2こ2 for the funchion )- COS(2-2) 22 (2-2) t 竹the anuer from a) to cles síry inqulariy f(2) at 2 and to nd the vejidue of f(z) 2 at C)Use the ansuer to b) o find

Answer 1

Given function f(z) = cos (z - 2) - z + 2/(z - 2)^4 rightarrow f(z) = cos (z - 2) - (z - 2)/(z - 2)^4 = cos (z - 2)/(z - 2)^4 - (z - 2)/(z - 2)^4 rightarrow f(z) = 1/(z - 2)^4 cos (z - 2) - 1/(z - 2)^3 = 1/(z - 2)^4 [1 - (z - 2)^2 /2! + (z - 2)^4/4! - (z - 2)^6/6! + (z - 2)^8/8! ---] -(z - 2)^-3 = 1/(z - 2)^4 - 1/2!(z - 2)^2 + 1/4! - 1/6! (z - 2)^2 - 1/8!(z - 2)^4 ---] - (z - 2)^-1 (z - 2)^-2 \r\n rightarrow f(z) = 1/(z - 2)^4 - 1/2!(z - 2)^2 + 1/4! - 1/6! (z - 2)^4 + 1/8!(z - 2)^4 ---- - (z - 2)^-3 = -(z - 2)^-3 + (z - 2)^-4 - 1/2!(z - 2)^-2 + 1/4! - 1/6! (z - 2)^4 + 1/8! (z - 2)^4 f(z) = -(z - 2)^-3 + [(z - 2)^-4 - 1/2!(z - 2)^-2 + 1/4! - 1/6! (z - 2)^4 + 1/8! (z - 2)^4 ----] --- (1) which is the Laurent series of f(z) about z = 2