Question

a) \([x(1-x), \gamma-(1+\alpha+\beta) x,-\alpha \beta]{ }_{2} F_{1}=0\) Hiper Geometrik Diferansiyel Denkleminin (HGDD) sonlu ve sonsuz bölgelerdeki tekilliklerini bulunuz, \(x=0\) etrafinda seri çõzümủnü bularak \(\quad{ }_{2} F_{1}(\alpha, \beta, \gamma ; x)\) çözumünü tesbit ediniz.

b) \(x=\beta s\) dönüșumũ yaparak yeni elde edilen diferansiyel denklemde \(\beta \rightarrow \infty^{\prime}\) a gitmesi durumunda sonlu bōlgedeki tekilliklerden birisinin sonsuz bölgeye gittiğini göstererek HGDD'in KHGDD'e dönüştüğũnũ gōsteriniz.

c) HGDD'l \(x \rightarrow G(x)\) noktasal dōnüșüm ile genelleștirerek daha sonra invaryant forma sokunuz (yani, IFGHGDD'I bulunuz). Bulacağanız sonuç aşağıdaki formda olacaktur:

$$ \left[1,0, \frac{G^{\prime \prime \prime}}{2 G^{\prime}}-\frac{3 G^{\prime \prime 2}}{G^{\prime 2}}+* \frac{G^{\prime 2}}{G^{2}}+* \frac{G^{\prime 2}}{G(1-G)}+* \frac{G^{\prime 2}}{(1-G)^{2}}\right] $$

d) \(\left[1-x^{2},-m x,-\lambda_{n}\right] G_{n}^{m}=0\) Gegenbauer Diferansiyel denklemini invariant forma sokarak, c) şıkkında bulduğunuz IFGHGDD'le kryaslayarak \(G_{n}^{m}\) çōzümunũ elde ediniz.