Problem

Fluxo de fluido. As linhas de corrente associadas a certo fluxo de fluido são representada...

Fluxo de fluido. As linhas de corrente associadas a certo fluxo de fluido são representadas pela família de curvas y = x - 1 + ke-x. Os potenciais de velocidade do fluxo são apenas as trajetórias ortogonais dessa família.

(a) Use o método descrito no Problema 32 dos exercícios da Seção 2.4para mostrar que os potenciais de velocidade satisfazem a dx + (x -y)dy = 0 .
[Dica: expresse primeiro a família y = x - 1 + ke-x na forma F(x, y) = k.]
(b) Encontre os potenciais de velocidade resolvendo a equação obtida no item (a).

Problema 32

Trajetórias ortogonais. Um problema geométrico que ocorre com frequência na engenharia é o de encontrar uma família de curvas (trajetórias ortogonais) que cruza determinada família de curvas ortogonalmente em cada ponto. Por exemplo, podemos obter as linhas de força de um campo elétrico e querer encontrar a equação para as curvas equipotentes. Considere a família de curvas descritas por F(x, y) = k, onde k é um parâmetro. Lembre-se, pela discussão da Equação (2), que para cada curva na família, a inclinação é dada por

(a) Lembre-se de que a inclinação de uma curva que é ortogonal (perpendicular) a determinada curva é simplesmente a negativa recíproca da inclinação da curva indicada. Usando esse fato, mostre que as curvas ortogonais à família F(x, y) = k satisfaz a equação diferencial
(b) Usando a equação diferencial anterior, mostre que as trajetórias ortogonais para a família de círculos x2 + y2 = k são apenas linhas retas passando pela origem (ver Figura 2.10).
Figura 2.10 Trajetórias ortogonais para círculos concêntricos são linhas passando pelo centro.
(c) Mostre que as trajetórias ortogonais para a família de hipérboles xy = k são as hipérboles x2 − y2 = k (ver Figura 2.11).