Mostre que C1 cos ωt + C2 sen ωt pode ser escrito na forma A cos (ωt – ϕ), onde  [Dica: us...

Mostre que C1 cos ωt + C2 sen ωt pode ser escrito na forma A cos (ωt – ϕ), onde  [Dica: use uma identidade trigonométrica padrão com C1 = A cos ϕ, C2 = A sen ϕ.] Use esse fato para verificar a representação alternativa (8) de F(t) discutida no Exemplo 2.

Exemplo 2.

Ache a temperatura do prédio T(t) se a taxa de aquecimento adicional H(t) for igual à constante H0, se não houver aquecimento ou resfriamento (U(t) ≡ 0) e a temperatura externa M variar como uma onda de seno sobre um período de 24 horas, com seu mínimo em t = 0 (meia-noite) e seu máximo em t = 12 (meio-dia). Ou seja,

onde B é uma constante positiva, M0 é a temperatura externa média e ω = 2π/24 = π/12 radianos/hora. (Essa poderia ser a situação na primavera ou no outono, quando não ha aquecimento ou resfriamento.)

Solução

A função Q(t) em (3) agora é

Definindo B0 := M0 + H0/K, podemos reescrever Q como

onde KB0 representa o valor médio diário de Q(t); ou seja,

Quando a função forçada Q(t) em (6) é substituída pela expressão para a temperatura na Equação (4), o resultado (depois de usar a integração por partes) é

onde

A constante C é escolhida de modo que, à meia-noite (t = 0), o valor da temperatura T é igual a alguma temperatura inicial T0. Assim,

Observe que o terceiro termo na solução (7) envolvendo a constante C tende a zero exponencialmente. O termo constante B0 em (7) é igual a M0 + H0/K e representa a temperatura média diária dentro do prédio (desprezando o termo exponencial). Quando não existe taxa de aquecimento adicional (H0 = 0), essa temperatura média é igual à temperatura externa média M0. O termo BF(t) em (7) representa a variação senoidal da temperatura dentro do prédio em resposta à variação da temperatura externa. Como F(t) pode ser escrito na forma

onde tg ϕ = ω/K (ver Problema 16), a variação senoidal dentro do prédio fica atrasada em relação à externa em ϕ/ω horas. Além disso, a magnitude da variação dentro do prédio é um pouco menor, por um fator de [1 + (ω/K)2]−1/2, do que a externa. A frequência angular da variação ω é 2π/24 radianos/h (cerca de 1/4). Os valores típicos para a razão adimensional ω/K se encontram entre 1/2 e 1. Para esse intervalo, a lacuna entre a temperatura interna e externa é mais ou menos de 1,8 a 3 h e a magnitude da variação interna é entre 89% e 71% da variação externa. A Figura 3.6 mostra a variação senoidal em 24 horas da temperatura externa para um dia moderado típico, bem como as variações de temperatura dentro do prédio para uma razão adimensional ω/K de unidade, que corresponde a uma constante de tempo 1/K de cerca de 4 horas. No esboço da última curva, consideramos que o termo exponencial foi extinto.

Figura 3.6 Variação de temperatura dentro e fora de um prédio não aquecido.

Equação 4