Use o método de Euler com espaçamentos h = 0,5; 0,1 ; 0,05; 0,01 para aproximar a solução...

Use o método de Euler com espaçamentos h = 0,5; 0,1 ; 0,05; 0,01 para aproximar a solução ao problema de valor inicial

no intervalo 0 ≤ x ≤ 2. (A explicação para os resultados erráticos se encontra no Problema 18 dos Exercícios da Seção 1.2.)

Troca de calor. Existem em essência dois mecanismos pelos quais um corpo físico troca calor com seu ambiente. A transferência de calor por contato através da superfície do corpo é controlada pela diferença entre a temperatura deste e a do ambiente; isso é conhecido como lei do resfriamento de Newton. Porém, a transferência também ocorre pela radiação térmica, que, de acordo com a lei da radiação de Stefan, é controlada pela diferença das quartas potências dessas temperaturas. Na maioria dos casos, um desses modos domina o outro. Os problemas 15 e 16 o convidam a simular cada modo numericamente para determinado conjunto de condições iniciais.

Problema 18

Considere que c > 0. Mostre que a função ϕ(x) = (c2 – x2)–1 é uma solução para o problema de valor inicial dy/dx = 2xy2, y(0) = 1/c2, no intervalo –c < x < c. Observe que essa solução torna-se ilimitada quando x aproxima-se de ±c. Assim, a solução existe no intervalo (–δ, δ) com δ = c, mas não para δ maior. Isso ilustra que, no Teorema 1, o intervalo de existência pode ser muito pequeno (se c for pequeno) ou muito grande (se c for grande). Observe também que não existe uma dica da própria equação dy/dx = 2xy2, ou do valor inicial, de que a solução “estoura” em x = ±c.

Teorema 1

Considere o problema de valor inicial

Se f e são funções contínuas em algum retângulo

que contém o ponto (x0, y0), então o problema de valor inicial tem uma solução única ϕ(x) em algum intervalo x0 – δ < x < x0 + δ, onde δ é um número positivo.

Problema 15

Lei do resfriamento de Newton. A lei do resfriamento de Newton declara que a taxa de mudança na temperatura T(t) de um corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do meio M(t) e a temperatura do corpo. Ou seja,

onde K é uma constante. Considere que K = 1 (min)–1 e que a temperatura do meio seja constante, M(t) = 70°. Se o corpo estiver de início a 100°, use o método de Euler com h = 0,1 para aproximar a temperatura do corpo após

(a) 1 minuto.

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(b) 2 minutos.

Problema 16

Lei da radiação de Stefan. A lei da radiação de Stefan declara que a taxa de mudança na temperatura de um corpo a T(t) graus em um meio a M(t) graus é proporcional a M4 – T4. Ou seja,

onde K é uma constante. Considere que K = (40)–4 e suponha que a temperatura do meio seja constante, M(t) = 70°. Se T(0) = 100°, use o método de Euler com h = 0,1 para aproximar T(1) e T(2).