Prove que a “taxa de convergencia” para o método de Euler no Problema 12 é comparável com...

Prove que a “taxa de convergencia” para o método de Euler no Problema 12 é comparável com 1/n mostrando que

[Dica: Use a regra de L’Hôpital e a expansão de Maclaurin para ln(l + t).]

Problema 12

No Exemplo 2, aproximamos o número transcendental e usando o método de Euler para solucionar o problema de valor inicial

Mostre que a aproximação de Euler yn obtida usando o tamanho de passo 1/n é dada pela formula

Lembrando do cálculo, obtemos

e, portanto, o método de Euler converge (teoricamente) para o valor correto.

Exemplo 2

Use o método de Euler para encontrar aproximações para a solução do problema de valor inicial

em x = 1, considerando 1, 2, 4, 8 e 16 passos.

Comentário. Observe que a solução para (5) é simplesmente ϕ(x) = ex, de modo que o método de Euler gerará aproximações algébricas para o número transcendental e = 2,71828...

Solução

Aqui,  f(x, y) = y, x0 = 0 e y0 = 1. A fórmula recursiva para o método de Euler é

Para obter aproximações em x = l com N etapas, tomamos o tamanho de etapa h = 1/N. Para N = 1, temos

(Nas computações anteriores, arredondamos para cinco casas decimais.) De modo semelhante, tomando N= 8 e 16, obtemos estimativas ainda melhores para ϕ(1). Essas aproximações aparecem na Tabela 1.2. Por comparação, a Figura 1.16 mostra as aproximações de linha poligonal para ex usando o método de Euler com h = 1/4 (N = 4) e h = 1/8 (N = 8). Observe que o tamanho de passo menor gera a melhor aproximação.