Use a estratégia do Exemplo 3 para encontrar um valor de h para o método de Euler tal que...

Use a estratégia do Exemplo 3 para encontrar um valor de h para o método de Euler tal que y(l) é aproximado para com a margem de erro ±0,01, se y(x) satisfizer o problema de valor inicial.

Também encontre, com a margem de erro ±0,05, o valor de x0 tal que y(x0) = 0,2. Compare suas respostas com as dadas pela solução real y = e–x + x – 1 (verifique!). Represente graficamente a aproximação de linha poligonal e a solução real no mesmo sistema de coordenadas.

Exemplo 3

Suponha que υ(t) satisfaça o problema de valor inicial

Experimentando com o método de Euler, determine com precisão de uma casa decimal (±0,1) o valor de υ(0,2) e o tempo necessário para υ(t) chegar a zero.

Solução

Determinar estimativas rigorosas da precisão das respostas obtidas pelo método de Euler pode ser um problema muito desafiador. A prática comum é repetidamente aproximar υ(0,2) e o cruzamento de zero, usando valores cada vez menores de h, até que os dígitos dos valores calculados estabilizem no nível de precisão exigido. Para este exemplo, o algoritmo de Euler gera os seguintes valores:

Confirmando a probabilidade remota de que valores mais detalhados de h possam revelar aberrações, declaramos com razoável confiança que υ(0,2) = 0,7 ± 0,1. O Teorema do Valor Intermediário implicaria que υ(t0) = 0 em algum instante com t0 satisfazendo 0,375 < t0 < 0,4, se as computações fossem perfeitas; elas oferecem clara evidência de que t0 = 0,4 ± 0,1.