A menos que indicado de outra forma, nos problemas a seguir consideramos que a força gravi...

A menos que indicado de outra forma, nos problemas a seguir consideramos que a força gravitacional é constante, com g = 9,81 m/s2 no sistema internacional e g = 32 pés/s2 no sistema comum dos Estados Unidos.

No Exemplo 1, resolvemos para a velocidade do objeto como uma função do tempo (Equação (5)). Em alguns casos, é útil ter uma expressão, independente de í, que relacione υ e x. Ache essa relação para o movimento no Exemplo 1. [Dica: considerando υ(t) = V(x(t)), então dυ/dt = (dV/dx)V.]

Exemplo 1

A um objeto de massa m é dada uma velocidade inicial para baixo υ0e é permitido cair sob a influência da gravidade. Supondo que a força da gravidade é constante e a força devido à resistência do ar é proporcional à velocidade do objeto, determine a equação do movimento para esse objeto.

Solução

Duas forças atuam sobre o objeto: uma força constante causada pelo empurrão para baixo da gravidade e uma força causada pela resistência do ar, que é proporcional à velocidade do objeto e age em oposição ao movimento do objeto. Logo, esse movimento ocorrerá ao longo do eixo vertical. Nesse eixo, escolhemos a origem para ser o ponto onde o objeto foi largado no inicio e consideramos que x(t) indica a distância que ele caiu no instante t (ver Figura 3.7).

As forças que agem sobre o objeto ao longo desse eixo podem ser expressas da seguinte forma. A força devido à gravidade é

em que g é a aceleração provocada pela gravidade na superfície da Terra (ver Tabela 3.2). A força causada pela resistência do ar é

onde b (>0) é a constante de proporcionalidade† e o sinal negativo está presente porque a resistência do ar atua em oposição ao movimento do objeto. Logo, a força total que age sobre o objeto (ver Figura 3.7) é

Agora, aplicamos a segunda lei de Newton substituindo (3) em (2) para obter

Como a velocidade inicial do objeto é υ0, um modelo para a velocidade do corpo em queda é expressa pelo problema de valor inicial

onde g e b são constantes positivas.

O modelo (4) é o mesmo que obtivemos na Seção 2.1. Usando separação de variáveis ou o método da Seção 2.3 para equações lineares, obtemos

Como consideramos x = 0 quando t = 0, podemos determinar a equação do movimento do objeto integrando υ = dx/dt com relação a t. Assim, por (5), obtemos

e definindo x = 0 quando t = 0, encontramos

Logo, a equação do movimento é

Figura 3.7 Forças sobre um objeto em queda.

Tabela 3.2 Unidades mecânicas nos sistemas de unidades norte-americano e internacional.