Teorema da função implícita. Considere que G(x, y) tenha primeiras derivadas parciais no r...

Teorema da função implícita. Considere que G(x, y) tenha primeiras derivadas parciais no retângulo R = {(x, y): a < x < b, c < y < d} contendo o ponto (x0, y0). Se G(x0, y0) = 0 e a derivada parcial Gy(x0, y0) ≠ 0, então existe uma função diferenciável y = ϕ(x), definida em algum intervalo I = (x0 – δ, x0 + δ), que satisfaz G(x, ϕ(x)) = 0 para todo x ϵ I. O teorema da função implícita dá condições sob as quais o relacionamento G(x, y) = 0 define y implicitamente como uma função de x. Use-o para mostrar que o relacionamento x + y + exy = 0, dado o Exemplo 4, define y implicitamente como uma função de x perto do ponto (0, –1).

Exemplo 4

Mostre que

é uma solução implícita para a equação não linear

Solução

Primeiro, observamos que não podemos resolver (7) diretamente para y em termos apenas de x. Porém, para que (7) se mantenha, percebemos que qualquer mudança em x exige uma mudança em y; assim esperamos que a relação (7) defina implicitamente pelo menos uma função y(x). Isso é difícil de mostrar de modo direto, mas pode ser rigorosamente verificado usando o teorema da função implícita†do cálculo avançado, o qual garante que tal função y(x) existe, que também é diferenciável (ver Problema 30).

Quando sabemos que y é uma função diferenciável de x, podemos usar a técnica de diferenciação implícita. Na realidade, por (7) obtemos a diferenciação com relação a x e a aplicação das regras de produto e cadeia,

on

que é idêntico à equação diferencial (8). Assim, a relação (7) é uma solução implícita sobre algum intervalo garantido pelo teorema da função implícita. ♦