Considere a equação do Exemplo 5,(a) O Teorema 1 implica na existência de uma solução únic...

Considere a equação do Exemplo 5,

(a) O Teorema 1 implica na existência de uma solução única para (13) que satisfaça y(x0) = 0?

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(b) Mostre que, quando x0 ≠ 0, a Equação (13) prova-velmente não pode ter uma solução em uma vizinhança de x = x0 que satisfaça .y(x0) = 0.

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(c) Mostre que existem duas soluções distintas para (13) satisfazendo y(0) = 0 (ver Figura 1.4).

Exemplo 5

Verifique que, para cada constante C, a relação 4x2 – y2 = C é uma solução implícita para

Represente graficamente as curvas de solução para C = 0, ±1, ±4. (Chamamos a coleção de todas essas soluções de família de soluções com um parâmetro.)

Solução

Quando diferenciamos de modo implícito a equação 4x2 – y2 = C com relação a x, encontramos

que é equivalente a (9). Na Figura 1.4, esboçamos as soluções implícitas para C = 0, ±1, ±4. As curvas são hipérboles com assíntotas comuns y = ±2x. Observe que as curvas de solução implícitas (com C arbitrário) preenchem o plano inteiro e não realizam interseção para C ≠ 0. Para C = 0, a solução implícita origina as duas soluções explícitas y = 2x e y = –2x, ambas passando pela origem.

Figura 1.4 Soluções implícitas 4x2 – y2 = C.

Teorema 1

Considere o problema de valor inicial

Se f e são funções contínuas em algum retângulo

que contém o ponto (x0, y0), então o problema de valor inicial tem uma solução única ϕ(x) em algum intervalo x0 – δ < x < x0 + δ, onde δ é um número positivo.