Considere que c > 0. Mostre que a função ϕ(x) = (c2 – x2)–1 é uma solução para o proble...

Considere que c > 0. Mostre que a função ϕ(x) = (c2 – x2)–1 é uma solução para o problema de valor inicial dy/dx = 2xy2, y(0) = 1/c2, no intervalo –c < x < c. Observe que essa solução torna-se ilimitada quando x aproxima-se de ±c. Assim, a solução existe no intervalo (–δ, δ) com δ = c, mas não para δ maior. Isso ilustra que, no Teorema 1, o intervalo de existência pode ser muito pequeno (se c for pequeno) ou muito grande (se c for grande). Observe também que não existe uma dica da própria equação dy/dx = 2xy2, ou do valor inicial, de que a solução “estoura” em x = ±c.

Teorema 1

Considere o problema de valor inicial

Se f e são funções contínuas em algum retângulo

que contém o ponto (x0, y0), então o problema de valor inicial tem uma solução única ϕ(x) em algum intervalo x0 – δ < x < x0 + δ, onde δ é um número positivo.