Argumente que, na prova do Teorema 2, a funçâo g pode ser consideradaque pode ser expressa...

Argumente que, na prova do Teorema 2, a funçâo g pode ser considerada

que pode ser expressa como

Isso por fim leva à representação

Avalie essa fórmula diretamente com x0 = 0, y0 = 0 para reformular

Exemplo 1

Resolva a equação diferencial

Solução

Algumas das escolhas de formas diferenciais correspondentes a essa equação são

Porém, a primeira forma é melhor para nossos propósitos, pois é um diferencial total da função F(x, y) = x2y2 + x:

Assim, as soluções são dadas implicitamente pela fórmula x2y2 + x = C. Ver Figura 2.9.

Figura 2.9 Soluções do Exemplo 1.

Teorema 2. Suponha que as primeiras derivadas parciais de M(x, y) e N(x, y) sejam contínuas em um retângulo R. Então

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0

è uma equação exata em R se e somente se a condição de compatibilidade

for mantida para todo (x, y) em R.†