Trajetórias ortogonais. Um problema geométrico que ocorre com frequência na engenharia é o...

Trajetórias ortogonais. Um problema geométrico que ocorre com frequência na engenharia é o de encontrar uma família de curvas (trajetórias ortogonais) que cruza determinada família de curvas ortogonalmente em cada ponto. Por exemplo, podemos obter as linhas de força de um campo elétrico e querer encontrar a equação para as curvas equipotentes. Considere a família de curvas descritas por F(x, y) = k, onde k é um parâmetro. Lembre-se, pela discussão da Equação (2), que para cada curva na família, a inclinação é dada por

Mostre que as trajetórias ortogonais para a família de hipérboles xy = k são as hipérboles x2 − y2 = k (ver Figura 2.11).

Figura 2.11 Famílias de hipérboles ortogonais.

Equação 2