Argumente que, na prova do Teorema 2, a funçâo g pode ser consideradaque pode ser expressa...

Argumente que, na prova do Teorema 2, a funçâo g pode ser considerada

que pode ser expressa como

Isso por fim leva à representação

Avalie essa fórmula diretamente com x0 = 0, y0 = 0 para reformular

Exemplo 3

Resolva

Solução

Aqui, M = 1 + exy + xexy e N = xex + 2. Como

a Equação (15) é exata. Se agora integrarmos N(x, y) com relação a y, obtemos

Quando tomamos a derivada parcial com relação a x e substituímos por M, obtemos

Assim, h'(x) = 1, de modo que consideramos h(x) = x. Logo, F(x, y) = xexy + 2y + x, e a solução para a Equação (15) é dada implicitamente por xexy + 2y + x = C. Nesse caso, podemos resolver explícitamente para y e obter y = (C − x)/(2 + xex). ♦

Teorema 2. Suponha que as primeiras derivadas parciais de M(x, y) e N(x, y) sejam contínuas em um retângulo R. Então

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0

è uma equação exata em R se e somente se a condição de compatibilidade

for mantida para todo (x, y) em R.†