Argumente que, na prova do Teorema 2, a funçâo g pode ser consideradaque pode ser expressa...

Argumente que, na prova do Teorema 2, a funçâo g pode ser considerada

que pode ser expressa como

Isso por fim leva à representação

Avalie essa fórmula diretamente com x0 = 0, y0 = 0 para reformular

Exemplo 2

Resolva

Solução

Aqui, M(x, y) = 2xy − sec2x e N(x, y) = x2 + 2y. Como

a Equação (12) é exata. Para encontrar F(x, y), começamos integrando M com relação a x:

Em seguida, tomamos a derivada parcial de (13) com relação a y e substituímos x2 + 2y por N:

Assim, g′(y) = 2y, e como a escolha da constante de integração não é importante, podemos considerar g(y) = y2. Logo, por (13), temos F(x, y) = x2y − tg x + y2, e a solução para a Equação (12) é dada implicitamente por x2y − tg x + y2 = C. ♦

Teorema 2. Suponha que as primeiras derivadas parciais de M(x, y) e N(x, y) sejam contínuas em um retângulo R. Então

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0

è uma equação exata em R se e somente se a condição de compatibilidade

for mantida para todo (x, y) em R.†