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Use o método descrito no Problema 32 para mostrar que as trajetórias ortogonais para a família de curvas x2 + y2 = kx, sendo k um parâmetro, satisfazem

Encontre as trajetórias ortogonais resolvendo a equação anterior. Esboce a família de curvas, juntamente com suas trajetórias ortogonais. [Dica: tente multiplicar a equação por xmyn como no Problema 30.]

Problema 32

Trajetórias ortogonais. Um problema geométrico que ocorre com frequência na engenharia é o de encontrar uma família de curvas (trajetórias ortogonais) que cruza determinada família de curvas ortogonalmente em cada ponto. Por exemplo, podemos obter as linhas de força de um campo elétrico e querer encontrar a equação para as curvas equipotentes. Considere a família de curvas descritas por F(x, y) = k, onde k é um parâmetro. Lembre-se, pela discussão da Equação (2), que para cada curva na família, a inclinação é dada por

(a) Lembre-se de que a inclinação de uma curva que é ortogonal (perpendicular) a determinada curva é simplesmente a negativa recíproca da inclinação da curva indicada. Usando esse fato, mostre que as curvas ortogonais à família F(x, y) = k satisfaz a equação diferencial

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(b) Usando a equação diferencial anterior, mostre que as trajetórias ortogonais para a família de círculos x2 + y2 = k são apenas linhas retas passando pela origem (ver Figura 2.10).

Figura 2.10 Trajetórias ortogonais para círculos concêntricos são linhas passando pelo centro.

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(c) Mostre que as trajetórias ortogonais para a família de hipérboles xy = k são as hipérboles x2 − y2 = k (ver Figura 2.11).

Figura 2.11 Famílias de hipérboles ortogonais.

Equação 2

Problema 30

Considere a equação

(a) Mostre que a equação não é exata.

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(b) Multiplique a equação por xnym e determine valores para n e m que tomam a equação resultante exata.

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(c) Use a solução da equação exata resultante para resolver a equação original.