Considere que ϕ(x) indica a solução para o problema de valor inicial(a) Mostre que (b) Dem...

Considere que ϕ(x) indica a solução para o problema de valor inicial

(a) Mostre que

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(b) Demonstre que o gráfico de ϕ está diminuindo para x próximo de zero e que quando x aumenta a partir de zero, ϕ(x) diminui até cruzar a linha y = x, onde sua derivada é zero.

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(c) Considere que x* seja a abscissa do ponto onde a curva-solução y = ϕ(x) cruza a linha y = x. Considere o sinal de  e demonstre que ϕ tem um mínimo relativo em x*.

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(d) O que você pode dizer sobre o gráfico de y = ϕ(x) para x > x*?

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(e) Verifique se y = x – 1 é uma solução para dy/dx = x – y e explique por que o gráfico de ϕ(x) sempre permanece acima da linha y = x – 1.

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(f) Esboce o campo de direção para dy/dx = x – y usando o método das isóclinas ou um software de computador.

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(g) Esboce a solução y = ϕ(x) usando o campo de direção no item (f).