Problem

Um ímã em barra em geral é modelado como um dipolo magnético com uma extremidade rotulada...

Um ímã em barra em geral é modelado como um dipolo magnético com uma extremidade rotulada como polo norte Ne a extremidade oposta rotulada como polo sul S. O campo magnético para o dipolo magnético é simétrico com relação à rotação em tomo do eixo, passando, no sentido longitudinal, pelo centro da barra. Logo, podemos estudar o campo magnético restringindo-nos a um plano com o imã em barra centralizado no eixo x.

Para um ponto P localizado a uma distância r da origem, onde r é muito maior que o comprimento do imã, as linhas do campo magnético satisfazem a equação diferencial

e as linhas equipotenciais satisfazem a equação

(a) Mostre que as duas famílias de curvas são perpendiculares onde elas se cruzam. [Dica: Considere as inclinações das linhas tangentes das duas curvas em um ponto de interseção.]
(b) Esboce o campo de direção para a Equação (4) para –5 ≤ x ≤ 5, –5 ≤ y ≤ 5. Você pode usar um pacote de software para gerar o campo de direção ou usar o método das isóclinas. O campo de direção deverá lembrá-lo do experimento onde as limalhas de ferro são espalhadas em uma folha de papel mantida acima de um ímã magnético. As limalhas de ferro correspondem às marcas de hachura.
(c) Use o campo de direção encontrado no item (b) para ajudar a esboçar as linhas do campo magnético que são soluções para (4).
(d) Aplique a declaração do item (a) às curvas no item (c) para esboçar as linhas equipotenciais que são soluções para (5). As linhas do campo magnético e as linhas equipotenciais são exemplos de trajetórias ortogonais. (Ver Problema 32 nos Exercícios da Seção 2.4, página 49.)†

Equação 4

Problema 32

Trajetórias ortogonais. Um problema geométrico que ocorre com frequência na engenharia é o de encontrar uma família de curvas (trajetórias ortogonais) que cruza determinada família de curvas ortogonalmente em cada ponto. Por exemplo, podemos obter as linhas de força de um campo elétrico e querer encontrar a equação para as curvas equipotentes. Considere a família de curvas descritas por F(x, y) = k, onde k é um parâmetro. Lembre-se, pela discussão da Equação (2), que para cada curva na família, a inclinação é dada por

(a) Lembre-se de que a inclinação de uma curva que é ortogonal (perpendicular) a determinada curva é simplesmente a negativa recíproca da inclinação da curva indicada. Usando esse fato, mostre que as curvas ortogonais à família F(x, y) = k satisfaz a equação diferencial
(b) Usando a equação diferencial anterior, mostre que as trajetórias ortogonais para a família de círculos x2 + y2 = k são apenas linhas retas passando pela origem (ver Figura 2.10).
Figura 2.10 Trajetórias ortogonais para círculos concêntricos são linhas passando pelo centro.
(c) Mostre que as trajetórias ortogonais para a família de hipérboles xy = k são as hipérboles x2 − y2 = k (ver Figura 2.11).