Em muitos dos problemas a seguir, será essencial ter uma calculadora ou computador disponí...

Em muitos dos problemas a seguir, será essencial ter uma calculadora ou computador disponível. Você pode usar um pacote de softwares† ou escrever um programa para solucionar os problemas de valor inicial usando os algoritmos do método de Euler aperfeiçoado na página 99. (Lembre-se de que todos os calculus trigonométricos são feitos em radianos.)

Corpo em queda. No Exemplo 1 da Seção 3.4, modelamos a velocidade de um corpo caindo pelo problema de valor inicial

na hipótese de que a força causada pela resistência do ar é –bυ. Porém, em certos casos, tal força comporta-se mais como –bυr, onde r (>1) é alguma constante. Isso leva ao modelo

Para estudar o efeito de mudar o parâmetro r em (14), considere m = 1, g = 9,81, b = 2 e υ0 = 0. Depois, use a subrotina do método de Euler aperfeiçoado com h = 0,2 para aproximar a solução para (14) no intervalo 0 ≤ t ≤ 55 para r = 1,0, 1,5 e 2,0. Qual é a relação entre essas soluções e a solução constante υ(t) = (9,81/2)1/r?

Exemplo 1

A um objeto de massa m é dada uma velocidade inicial para baixo υ0e é permitido cair sob a influência da gravidade. Supondo que a força da gravidade é constante e a força devido à resistência do ar é proporcional à velocidade do objeto, determine a equação do movimento para esse objeto.

Solução

Duas forças atuam sobre o objeto: uma força constante causada pelo empurrão para baixo da gravidade e uma força causada pela resistência do ar, que é proporcional à velocidade do objeto e age em oposição ao movimento do objeto. Logo, esse movimento ocorrerá ao longo do eixo vertical. Nesse eixo, escolhemos a origem para ser o ponto onde o objeto foi largado no inicio e consideramos que x(t) indica a distância que ele caiu no instante t (ver Figura 3.7).

As forças que agem sobre o objeto ao longo desse eixo podem ser expressas da seguinte forma. A força devido à gravidade é

em que g é a aceleração provocada pela gravidade na superfície da Terra (ver Tabela 3.2). A força causada pela resistência do ar é

onde b (>0) é a constante de proporcionalidade† e o sinal negativo está presente porque a resistência do ar atua em oposição ao movimento do objeto. Logo, a força total que age sobre o objeto (ver Figura 3.7) é

Agora, aplicamos a segunda lei de Newton substituindo (3) em (2) para obter

Como a velocidade inicial do objeto é υ0, um modelo para a velocidade do corpo em queda é expressa pelo problema de valor inicial

onde g e b são constantes positivas.

O modelo (4) é o mesmo que obtivemos na Seção 2.1. Usando separação de variáveis ou o método da Seção 2.3 para equações lineares, obtemos

Como consideramos x = 0 quando t = 0, podemos determinar a equação do movimento do objeto integrando υ = dx/dt com relação a t. Assim, por (5), obtemos

e definindo x = 0 quando t = 0, encontramos

Logo, a equação do movimento é

Figura 3.7 Forças sobre um objeto em queda.

Tabela 3.2 Unidades mecânicas nos sistemas de unidades norte-americano e internacional.