Em muitos dos problemas a seguir, será essencial ter uma calculadora ou computador disponí...

Em muitos dos problemas a seguir, será essencial ter uma calculadora ou computador disponível. Você pode usar um pacote de softwares† ou escrever um programa para solucionar os problemas de valor inicial usando os algoritmos do método de Euler aperfeiçoado na página 99. (Lembre-se de que todos os calculus trigonométricos são feitos em radianos.)

Erro local versus global. Na derivação da Fórmula (4) para o método de Euler, um retângulo foi usado para aproximar a área sob uma curva (ver Figura 3.14). Com g(t)≔ f(t, ϕ(t)), essa aproximação pode ser escrita como

Mostre que, se g tem uma derivada contínua que seja limitada em valor absoluto por B, então a aproximação do retângulo tem erro O(h2); ou seja, para alguma constante M,

Isso é chamado de erro de truncamento local do esquema. [Dica: escreva

Em seguida, usando o teorema do valor médio, mostre que |g(t) − g(xn)| ≤ B |t − xn|. Depois, integre para obter o limite de erro (B/2)h2.]

Figura 3.14 Aproximação por um retângulo.

Fórmula 4