Em muitos dos problemas a seguir, será essencial ter uma calculadora ou computador disponí...

Em muitos dos problemas a seguir, será essencial ter uma calculadora ou computador disponível. Você pode usar um pacote de softwares† ou escrever um programa para solucionar os problemas de valor inicial usando os algoritmos do método de Euler aperfeiçoado na página 99. (Lembre-se de que todos os calculus trigonométricos são feitos em radianos.)

No Exemplo 1, a aproximação do método de Euler aperfeiçoado para e com tamanho de passo h foi mostrada como sendo

Primeiro, prove que o erro ≔ e − (1 + h + h2/2)1/h aproximase de zero quando h→0. Então use a regra de L’Hôpital para mostrar que

Compare essa constante com as entradas na última coluna da Tabela 3.5.

Exemplo 1

Calcule a aproximação do método de Euler aperfeiçoado para a solução ϕ(x) = ex de

em x = 1 usando os tamanhos de passo de h = 1, 10−1, 10−2, 10−3 e 10−4.

Solução

Os valores iniciais são x0 = 0 e y0 = 1. Como f(x, y) = y, a Fórmula (9) torna-se

ou seja,

Como y0 = 1, vemos por indução que

Para obter aproximações em x = 1, devemos ter 1 = x0 + nh = nh, e, assim, n = 1/h. Logo, as aproximações aperfeiçoadas de Euler para e = ϕ(1) são simplesmente

Na Tabela 3.5, calculamos essa aproximação para os valores especificados de h, junto com os erros correspondents

Comparando as entradas dessa tabela com aquelas da Tabela 3.4, observamos que o método de Euler aperfeiçoado converge muito mais depressa do que o método de Euler. De fato, pelas poucas primeiras entradas na segunda e terceira colunas da Tabela 3.5, parece que a aproximação ganha duas casas decimais em precisão toda vez que h é diminuido por um fator de 10. Em outras palavras, o erro é mais ou menos proporcional a h2 (veja a última coluna da tabela e também o Problema 4). As entradas nas duas últimas linhas devem ser consideradas com cautela. Na verdade, quando h = 10−3 ou h = 10−4, o erro verdadeiro é tão pequeno que nossa calculadora o arredondou para zero, até cinco casas decimais. As entradas marcadas com asterisco na última coluna podem ser imprecisas por causa da perda de valores significativos na aritmética da calculadora.

Tabela 3.4 Aproximações de Euler para e = 2,71828…

Tabela 3.5 Aproximaçães aperfeiçoada de Euler para e = 2,71828…