Misturas. Suponha que uma salmoura contendo 0,2 kg de sal por litro entre em um tanque che...

Misturas. Suponha que uma salmoura contendo 0,2 kg de sal por litro entre em um tanque cheio com 500 L de água contendo 5 kg de sal. A salmoura entra no tanque a uma taxa de 5 L/min. A mistura, mantida uniforme por agitação, está saindo na taxa de 5 L/min (ver Figura 2.6).

Figura 2.6 Problema de mistura com taxas de fluxo iguais.

(a) Encontre uma concentração de sal no tanque, em quilos por litro, após 10 minutos. [Dica: considere que A indica o número de quilos de sal no tanque em t minutos após o processo iniciar e use o fato de que

taxa de aumento em A = taxa de entrada - taxa de saída.

Outra discussão sobre problemas de mistura é dada na Seção 3.2.]

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(b) Após 10 min, ocorre um vazamento e um litro adicional de mistura flui por minuto para fora do tanque (ver Figura 2.7). Qual será a concentração de sal no tanque, cm quilos por litro, 20 minutos após o vazamento? [Dica: use o método discutido nos problemas 31 e 32.]

Figura 2.7 Problema de mistura com taxas de fluxo diferentes.

Problema 31

Coeficientes descontínuos. Conforme veremos no Capítulo 3, surgem ocasiões em que o coeficiente P(x) em uma equação linear deixa de ser contínuo por causa de descontinuidades do tipo salto. Felizmente, ainda podemos obter uma solução “razoável”. Por exemplo, considere o problema de valor inicial

onde

(a) Encontre a solução geral para 0 ≤ x ≤ 2.

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(b) Escolha a constante na solução do item (a) de modo que a condição inicial seja satisfeita.

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(c) Encontre a solução geral para x > 2.

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(d) Agora, escolha a constante na solução geral do item (c) de modo que a solução do item (b) e a do item (c) correspondam em x = 2. Juntando as duas soluções, podemos obter uma função contínua que satisfaça a equação diferencial, exceto em x = 2, onde sua derivada é indefinida.

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(e)Esboce o gráfico da solução de x = 0 até x = 5.

Problema 32

Termos forçados descontínuos. Existem ocasiões em que o termo forçado Q(x) em uma equação linear deixa de ser contínuo devido a descontinuidades do tipo salto. Felizmente, ainda podemos obter uma solução razoável imitando o procedimento discutido no Problema 31. Use esse procedimento para encontrar a solução contínua para o problema de valor inicial.

onde

Esboce o gráfico da solução de x = 0 até x = 7.