Pontos singulares. Os valores de x para os quais P(x) na Equação (4) não é definido são ch...

Pontos singulares. Os valores de x para os quais P(x) na Equação (4) não é definido são chamados de pontos singulares da equação. Por exemplo, x = 0 é um ponto singular da equação xy' + 2y = 3x, pois quando a equação é escrita na forma padrão, y' + (2/x)y = 3, vemos que P(x) = 2/x não é definido em x = 0. Em um intervalo contendo um ponto singular, as questões de existência e unicidade de uma solução ficam sem respostas, já que o Teorema 1 não se aplica. Para mostrar o comportamento possível das soluções próximas de um ponto singular, considere as equações a seguir.

Mostre que xy' + 2y = 3x tem apenas uma solução definida em x = 0. Depois, mostre que o problema de valor inicial para esta equação com condição inicial y(0) = y0 tem uma solução única quando y0 = 0 e nenhuma solução quando y0≠ 0.

Teorema 1. Suponha que P(x) e Q(x) sejam contínuos em um intervalo (a, b) que contém o ponto x0. Então, para qualquer escolha de valor inicial y0, existe uma solução única y(x) em (a, b) para o problema de valor inicial

De fato, a solução é dada por (8) para um valor adequado de C.

Equação (4)