Existência e unicidade. Com base nas suposições do Teorema 1, provaremos que a Equação (8)...

Existência e unicidade. Com base nas suposições do Teorema 1, provaremos que a Equação (8) fornece uma solução para a Equação (4) em (a, b). Podemos, então, escolher a constante C na Equação (8) de modo que o problema de valor inicial (15) seja resolvido.

Comece com a suposição de que y(x) e uma solução para o problema de valor inicial (15) e argumente que a discussão levando à Equação (8) implica que y(x) deverá obedecer àquela equação. Depois argumente que a condição inicial em (15) determina a constante C unicamente.

Teorema 1

Teorema 1. Suponha que P(x) e Q(x) sejam contínuos em um intervalo (a, b) que contém o ponto x0. Então, para qualquer escolha de valor inicial y0, existe uma solução única y(x) em (a, b) para o problema de valor inicial

De fato, a solução é dada por (8) para um valor adequado de C.

Equação 8

Equação 4