Problem

Decaimento radioativo. No Exemplo 2, suponha que a taxa em que RA1 decai para RA2 seja 40e...

Decaimento radioativo. No Exemplo 2, suponha que a taxa em que RA1 decai para RA2 seja 40e−20t kg/s e a constante de decaimento para RA2 seja k = 5/s. Encontre a massa y(t) de RA2 para t ≥ 0 se inicialmente y(0) = 10 kg.

Exemplo 2

Uma pedra contém dois isótopos radioativos, RA1 e RA2, que pertencem à mesma série radioativa; ou seja, RA1 decai para RA2, que então decai para átomos estáveis. Suponha que a taxa em que RA1 decai para RA2 seja 50e-10t kg/s. Como a taxa de decaimento de RA2 é proporcional à massa y(t) de RA2 presente, a taxa de mudança em RA2é

onde k > 0 é a constante de decaimento. Se k = 2/s e inicialmente y(0) = 40 kg, encontre a massa y(t) de RA2 para t ≥ 0.

Solução

A Equação (12) é linear, de modo que começamos escrevendo-a na forma padrão

onde substituímos k = 2 e exibimos a condição inicial. Agora, vemos que P(t) = 2, de modo que Assim, um fator integrante é μ(t)= e2t. Multiplicando a Equação (13) por μ(t), temos