No Exemplo 2, a constante de decaimento para o isótopo RA1 foi 10/s, o que se expressa no...

No Exemplo 2, a constante de decaimento para o isótopo RA1 foi 10/s, o que se expressa no expoente do termo da taxa 50e-10t kg/s. Quando a constante de decaimento para RA2 é k = 2/s, vemos que, na Fórmula (14) para y, o termo (185/4) e−2t acaba dominando (tem maior magnitude para t grande).

Refaça o Exemplo 2 considerando k = 20/s. Agora, qual termo na solução acaba dominando?

Exemplo 2

Uma pedra contém dois isótopos radioativos, RA1 e RA2, que pertencem à mesma série radioativa; ou seja, RA1 decai para RA2, que então decai para átomos estáveis. Suponha que a taxa em que RA1 decai para RA2 seja 50e-10t kg/s. Como a taxa de decaimento de RA2 é proporcional à massa y(t) de RA2 presente, a taxa de mudança em RA2é

onde k > 0 é a constante de decaimento. Se k = 2/s e inicialmente y(0) = 40 kg, encontre a massa y(t) de RA2 para t ≥ 0.

Solução

A Equação (12) é linear, de modo que começamos escrevendo-a na forma padrão

onde substituímos k = 2 e exibimos a condição inicial. Agora, vemos que P(t) = 2, de modo que Assim, um fator integrante é μ(t)= e2t. Multiplicando a Equação (13) por μ(t), temos

Integrando os dois lados e resolvendo para y, encontramos

Substituindo t =0 e y(0) = 40, obtemos

de modo que C = 40 + 25/4 = 185/4 . Assim, a massa y(t) de RA2 no instante t é dada por